Fellägesbestämning

 

Fellägesbestämningen vid enfasigt jordfel sker iterativt i två steg, där de två stegen upprepas tills felimpedansen och felläget bestämts:

1.        Beräkning av jordfelsimpedansen Zj med hjälp av en modell med approximativ nätrepresentation, beskriven i avsnitt 1.

2.        Beräkning av jordfelsströmmarna med hjälp av en fullständig nätrepresentation, beskriven i avsnitt 2, med Zj  från steg 1 insatt.

 

 

1. Modell med approximativ nätrepresentation

 

1.1        Approximativ serieimpedans Z’ för enfasigt jordfel

 

 Z’k =  2 Z’+k + Z’0k                                        (1.1)

 

där

 

 Z’+k    = resulterande plusföljds serieimpedans i knutpunkt k

 Z’0k    = Z0t + Z+Lk + 3 ZNk

             = approximativ, resulterande nollföljds serieimpedans i knutpunkt k

 Z0t            = transformatorns nollföljdsimpedans

 Z+Lk   = plusföljds serieimpedans från transformatorn till knutpunkt k

 

Enfasiga jordfelsströmmen IR tecknas som

 

 

där

 

 

För representation av den approximativa serieimpedansen i ekvivalenten nedan införs beteckningen ZEJ för nätets serieimpedans plus jordfelsimpedansen, dvs

 

 ZEJ = Z’k/3 + Zjk                                        (1.4)

 

 

1.2        Beräkning av jordfelsströmmar med approximativ modell

 

 

 Fig. 1.1        Approximativ ekvivalent för enfasigt jordfel

 

 

Ur ekvivalenten erhålls

 

 IR = VR0/(ZEJ + Z’n)                                (1.5)

 

där                

 

 1/ Z’n = 1/Rn + j(3ωC0 - 1/ωLn)                        (1.6)

 

Rn inkluderar även, förutom nollpunktsresistorer, resistanser som representerar nollpunktsreaktorers resistiva förluster, även utlokaliserade

 

 Ln inkluderar även induktanser för utlokaliserade nollpunktsreaktorer

 

 C0 inkluderar även uppmätt övrig kapacitiv ström, inklusive i  utlokaliserade

      nollpunkter, omräknad till kapacitanser vid nominell spänning

 

Nollpunkts- (nollföljds-) spänningen blir

 

 Vn = - IR*Z’n = - VR0/( ZEJ /Z’n + 1)                        (1.7)

 

       = - κ*VR0

 

där                

 

 κ = 1/( ZEJ /Z’n + 1)                                        (1.8)

 

Vid försumbar jordslutningsimpedans ZEJ är faktorn k = 1.

Jordslutningsströmmen uppdelning per radial illustreras av Fig. 1.2

 

 

 

 Fig.         1.2        Jordslutningsströmmens uppdelning per radial

 

 

Vid fel på radial L1 passeras ledningarnas skydd av strömmarna

 

 L1)                I’L1 = κ IL1 = κ (IRn- IRnL1 + j( IC0 - IC0L1 - ILn + ILnL1))                (1.9)        

         

 L2)                I’L2 = κ IL2 = - κ ( IRnL2 + j(IC0L2 - ILnL2))                        (1.10)

 

Där strömbidrag även kommer från utlokaliserade nollpunkter, inklusive aktiva reaktorförluster och uppmätt övrig kapacitiv ström.

 

2. Fullständig modell med nätkapacitanserna och utlokaliserade nollpunkter fördelade i nätets knutpunkter, med Y-matris representation av nätet

 

2.1        Nätrepresentation med faktoriserade Y-matriser (plus- och nollföljd)

 

I ett elektriskt kraftnät kan sambandet mellan strömmar och spänningar tecknas som

 

 Y V = I                                                        (2.1)

 

där

 

 I   = vektor av knutpunktsströmmar

 V = vektor av knutpunktsspänningar

 Y = G + jB = nätets knutpunktsadmittansmatris

 G = konduktans ;  B = susceptans

 

 

 

 Fig.         2.1         Representation av elektriskt nät

 

Nätelementen representeras i form av pi-länkar enligt Fig. 2.1 där

 

 Yk-m = pi-ekvivalent serieadmittans för sektion k-m

 

 Ykm-0 = pi-ekvivalent shuntadmittans i knutpunkt k för sektion k-m

 

 Ykm-0 = d:o i knutpunkt m

 

 Yk-0 = admittans för shuntelement i knutpunkt k (kondensator, reaktor,

              generator)

 

Injicerad knutpunktsström Ik tecknas som

 

       Ik = Vk Yk-0 + Vk ΣmYkm-0 +Σm(Vk  - Vm)Yk-m

 

      = (Yk-0 + Σm(Ykm-0 +Yk-m))Vk - ΣmYk-m Vm                        (2.2)

 

där summeringen sker över alla knutpunkter m direkt anslutna till knutpunkt k.

 

Admittansmatrisens diagonalelement och icke-diagonalelement i (2.1) är enligt (2.2)

 

 Ykk = Yk-0 + Σm(Ykm-0 +Yk-m))                                (2.3)

 

 Ykm = - Yk-m

 

Sambandet (2.1) kan även skrivas om som

 

 V = Y-1 I

 

     = Z I                                                        (2.4)

 

där

 

 Z = R + jX = nätets knutpunktsimpedansmatris

 R = resistans;         X = reaktans

 

Vid simulering av fel i en given punkt i nätet beräknar man ur Y-matrisen den aktuella kolonnen i Z-matrisen. Den kan tecknas som

 

 Z(k) = Y-1 E (k)                                        (2.5)

 

där E (k) är kolonn k i enhetsmatrisen, dvs en vektor med en etta i position k och nollor i övrigt. Det kan också tolkas som att injicering av en en p.u. ström i en knutpunkt k i nätet ger knutpunktsspänningar som är identiska med motsvarande kolonn i Z-matrisen.

 

Vid beräkning av (2.5) tillämpas matrisfaktorisering, i detta fall LDU – faktorisering, av det linjära ekvationssystemet (2.1) som allmänt kan tecknas som

 

 A x = b                                        (2.6)

 

Faktorisering av A ger

 

 LDU x = b                                        (2.7)

 

 U x = y                                        (2.8)

 

 LD y = b                                        (2.9)

 

Där

 

-        L och U är undre och övre triangulära matriser med ettor i diagonalerna

 

-        D är en diagonal-matris

 

-        hjälpvektorn y löses för det glesa högerledet b med s.k. ’fast forward’ (FF)

 substitution och division med D , enligt sambandet (2.9)

 

-        vektorn x löses med ’backward’ (B) eller, om endast en delmängd av x-elementen önskas, med ’fast backward’ (FB) substitution

 

Den ovan beskrivna Y-matris metodiken används vid beräkning av enfasigt jordfel när man önskar representera nätet som pi-länkar, där ledningskapacitanserna och utlokaliserade nollpunkter är representerade som shuntar i knutpunkterna (se Fig. 2.1).

 

Vid beräkning av jordfel i en knutpunkt k beräknas plus- och nollföljds - Z-matris- kolonnerna Z+(k) och Z0(k) för knutpunkten (plus- och minusföljds-impedanserna antas vara lika) varefter strömmarna i felstället beräknas som

 

 I+k = I- k =  I0k = V+k0 /( 2 Z+kk + Z0kk+ 3 Zjk )                        (2.10)

 

Spänningarna i en knutpunkt m i nätet beräknas som

 

 V+m = V+m0 - Z+km I+k                                (2.11)

 

 V-m =  - Z+km I-k                                        (2.12)

 

 V0m =  - Z0km I0k                                        (2.13)

 

Impedanserna  Z+kk , Z+km och Z0kk , Z0km är element i respektive kolonnerna Z+(k) och Z0(k)

 

 

2.2        Fel ute på ledningssektion

 

När man önskar beräkna felströmmar för fel ute på en ledningssektion mellan knutpunkter, t. ex. som här vid fellägesbestämning, används en metodik enligt följande beskrivning.

 

 

 Fig. 2.2   Fel ute  på ledningssektion

 

 

Fig. 2.2 ovan illustrerar fel i en punkt f ute på en ledningssektion k-m , på avståndet d från knutpunkt k. Följande samband mellan strömmar och spänningar kan ställas upp

 

 Vf = Vk - d Zk-m Ik-f                                (2.14)

 

 Vf = Vm - (1-d) Zk-m Im-f                                (2.15)

 

 If = Ik-f + Im-f                                        (2.16)

 

Sambanden (2.14) och (2.16) ger  

 

 Vf = Vk - d Zk-m If + d Zk-m Im-f                        (2.17)

 

Lösning av Im-f  ur (2.15) och insättning i (2.17) ger

 

 Vf = Vk - d Zk-m If + d Zk-m ((Vm -Vf)/((1-d) Zk-m))        

 

      = (1-d)Vk +dVm  - d(1-d) Zk-m If                        (2.18)

 

Om 1 p.u. ström injiceras i en punkt ‘i’ blir spänningen i punkt f

 

 Vif = Zfi = Vik - d Zk-m Iik-m

 

      = Vik - d(Vik - Vim)

 

      = (1-d)Zki + d Zmi        i = 1, 2, ….. , n                (2.19)

 

där övre index ‘i’ indikerar att kvantiteten härrör från 1 p.u. injiceringen i knutpunkt ‘i’ och n betecknar antalet knutpunkter i nätet.

 

Om 1 p.u. injiceras i punkt f erhålls enligt (2.18) sambandet

 

 Vff = Zff =(1-d) Vfk + d Vfm + d(1-d) Zk-m

 

      = (1-d) Zkf + d Zmf + d(1-d) Zk-m                        (2.20)

 

Insättning av (2.19) i (2.20) med i=k och i=m ger

 

 Zff = (1-d)((1-d) Zkk + d Zmk + d((1-d) Zkm + d Zmm) + d(1-d) Zk-m        

 

       = (1-d)2 Zkk + 2d(1-d) Zkm + d2 Zmm + d(1-d) Zk-m                (2.21)

 

Uttrycken (2.19) och (2.21) visar hur impedansmatriskolonnen för felstället f ute på ledningssektionen k-m erhålls med hjälp av impedansmatriskolonnerna för ändpunkterna och sektionens egenimpedans.

 

För ett rent radiellt nät utan shuntelement, t.ex. det approximativa nätet i avsnitt 1, är Zkm = Zkk och Zmm = Zkk + Zk-m. Insättning av dessa värden i (2.21) ger

 

  Zff = Zkk + d Zk-m                                        (2.22)

 

 

 

3.        Algoritm för fellägesbestämning

 

3.1        Skattning av jordfelsimpedans

 

Värdet på parametern k beräknas ur de tre tidigare uppställda sambanden (1.7), (1.9) och (1.10)

 

 κ = - Vn/VR0                                        (3.1)

 

 κ = I’L1/IL1                                                (3.2)

 

 κ = I’L2/IL2                                                (3.3)

 

där (3.1) avser nollpunkten, (3.2) avser felbehäftade radialen och (3.3) de friska radialerna.

 

Vn , I’L1 och I’L2 är uppmätta värden med okänd felimpedans och okänt felläge.

 

- VR0 , IL1 och IL2 är beräknade värden ur den approximativa modellen (ekvivalenten) med felimpedansen  ZEJ = 0.

 

Enligt sambandet (1.8) är κ = 1/( ZEJ /Z’n + 1) vilket ger

 

 ZEJ = Z’n (1-κ)/κ                                        (3.4)

 

ZEJ beräknas ur vart och ett av sambanden /3.1) , (3.2) och (3.3) och ett medelvärde bildas.

Därefter beräknas Z’k ur den approximativa nätrepresentationen, enligt sambandet (1.1), varefter felimpedansen bildas ur uttrycket (1.4) som

 

 Zjk = ZEJ - Z’k/3                                        (3.5)

 

och 3 Zjk sätts in i den fullständiga modellen i uttrycket (2.10) för enfasigt jordfel.

I första iterationen, innan något möjligt felläge bestämts, beräknas  Z’k som ett medelvärde över nätets knutpunkter. I efterföljande iterationer tas felläget från den fullständiga modellen, dvs aktuell sektion k-m och position d, och sätts in i uttrycket (2.22) för radiellt nät.

 

 

3.2        Beräkning av felläge

 

Beräkning av felläge sker med den fullständiga modellen 2 och startar med att bestämma gränssektioner k-m i den felbehäftade radialen. En gränssektion definieras då som en sektion k-m sådan att:

-fel i knutpunkt k ger en felström I0fk som resulterar i en felström I0rk ut på radialen

som är lika med eller större än uppmätt  ström I’r  

 

-fel i knutpunkt m ger en felström I0fm som resulterar i en felström I0rm ut på

  radialen som är mindre än uppmätt  ström I’r

 

Strömmarna I0fk och I0fm beräknas ur sambandet (2.10) och strömmarna I0rk och I0rm ur beräknade nollföljdsspänningar, enligt sambandet (2.13), för mätsektionens knutpunkter rk och rm (m=rk och m=rm insatta i (2.13)) , och  sektionens nollföljds - pi-länk.

 

Vid bestämning av felläget f på en sektion sker beräkningarna enligt principerna redovisade i avsnitt 2.2 där sambanden (2.19) och (2.21) används för beräkning av plusföljds- och nollföljds-impedansmatriskolonnerna för felpunkten f. Plus- och nollföljds-impedanserna Z+ff och Z0ff används för beräkning av felströmmen I0f . Nollföljds- impedanserna  Z0f rk och Z0f rm och används för beräkning av nollföljdsspänningarna i mätsektionens knutpunkter rk och rm. Med dessa spänningar och sektionens nollföljds - pi-länk beräknas sedan felströmmen I0rf ut på radialen.

 

Avståndet d till felpunkten f bestäms genom intervallhalvering:

 

 A1)        sätt dmin = 0 och dmax = 1

 A2)        d = 0.5 (dmin + dmax ), om  (dmax - dmin) )< eps1 har felläget identifierats

 A3        beräkna felströmmen I0rf ut på radialen vid felläget d

 A5)        om I0rf är större än uppmätt ström I’r sätts dmin = d, gå till A2

 A6)        om I0rf är mindre än uppmätt ström I’r sätts dmax = d, gå till A2

 

Vid beräkning av felläge enligt detta avsnitt 3.2 används strömmarnas absolutbelopp.

 

När felläget identifierats korrigeras jordfelsimpedansen  Zjk = ZEJ - Z’k/3 ovan, (sambandet (3.5)) genom att approximativa serieimpedansen Z’k/3 omräknas via insättning av felläget i beräkningen av impedansen (2.22) för radiellt nät . Därefter startar en ny iteration med fellägesbestämning. När ändringen i jordfelsimpedansen från en iteration till en annan är mindre än ett givet gränsvärde avbryts iterationerna och felläget på denna gränssektion betraktas som bestämt.

Om den felbehäftade radialen har flera möjliga gränssektioner (möjliga felställen) startar  den iterativa proceduren 3.2 på nytt.